Demostracion geometrica del teorema de pitagoras

Geométricamente, el teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo con lados y donde está la hipotenusa, si se construyen tres cuadrados cuyos uno de los lados son los lados del triángulo como se muestra en la Figura 2, entonces el área de los dos cuadrados más pequeños al sumarse es igual al área del cuadrado mayor. Figura 2 – La interpretación geométrica del teorema de Pitágoras afirma que el área del cuadrado verde más el área del cuadrado rojo es igual al área del cuadrado azul. Figura 4 – La prueba geométrica del teorema de Pitágoras.

Reordenando los triángulos, también podemos formar otro cuadrado con la misma longitud de lado como se muestra en la Figura 4-B. Esto significa que el área del cuadrado blanco de la Figura 4-A es igual a la suma de las áreas de los cuadrados blancos de la Figura 4-B ¿Por qué? Es decir, que es exactamente lo que queremos mostrar. *Y como siempre podemos formar un cuadrado grande usando cuatro triángulos rectos con cualquier dimensión en matemáticas superiores, decimos que podemos elegir arbitrariamente y como longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, esto implica que la ecuación enunciada anteriormente es siempre verdadera independientemente del tamaño del triángulo.

Ejercicio 5: Demuestra que el cuadrilátero de lado C de la figura 4-A es un cuadrado. El Teorema de Pitágoras se deriva en forma algebraica por el sistema geométrico. Ahora te toca saber cómo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados opuestos y adyacentes en un triángulo rectángulo.

W. Dunham [Universo Matemático] cita un libro The Pythagorean Proposition de un profesor de principios del siglo XX, Elisha Scott Loomis. El libro es una colección de 367 pruebas del Teorema de Pitágoras y ha sido reeditado por el NCTM en 1968. En el prólogo, el autor afirma con razón que el número de pruebas algebraicas es ilimitado, así como el número de pruebas geométricas, pero que la proposición no admite ninguna prueba trigonométrica.

Curiosamente, Loomis no menciona en ninguna parte del libro la VI.31 de Euclides, ni siquiera cuando la ofrece, junto con sus variantes, como pruebas algebraicas 1 y 93 o como prueba geométrica 230. El truco de la viñeta de Michael está en saltarse la cuestión de la aproximación. Pero, ¿realmente se puede justificar la derivación sin basarse en el teorema de Pitágoras en primer lugar?

En cualquier caso, me resulta muy agradable que la omnipresente ecuación y-dy – x-dx = 0 se sitúe en ese contexto geométrico. La prueba del teorema de Pitágoras de Euclides es sólo una de las 465 pruebas incluidas en los Elementos. A diferencia de muchas otras pruebas de su libro, este método fue probablemente obra suya.

Su demostración es única en cuanto a su organización, ya que sólo utiliza las definiciones, postulados y proposiciones que ya había demostrado que eran verdaderas. La demostración de Euclides adopta un enfoque geométrico en lugar de algebraico; normalmente, el teorema de Pitágoras se plantea en términos de a² b² = c², no como cuadrados reales. Las demás proposiciones de los Elementos contienen el mismo nivel de organización, claridad e ingenio de las proposiciones I.47 y I.48.

Los Elementos de Euclides son una obra maestra de las matemáticas que merece la atención que recibe. Podemos jugar con dos aplicaciones interactivas anteriores para «ver» demostraciones del Teorema de Pitágoras. Una está inspirada en Euclides, aunque éste no tenía un enfoque dinámico, y la otra utiliza un mosaico.

Existen muchas pruebas diferentes para este teorema geométrico fundamental. El teorema también puede generalizarse de un triángulo plano a un tetraedro trirectangular, en cuyo caso se conoce como teorema de Gua. Todas las pruebas del teorema de Pitágoras parecen requerir la aplicación de alguna versión o consecuencia del postulado de las paralelas: las pruebas por disección se basan en la complementariedad de los ángulos agudos del triángulo rectángulo, las pruebas por cizallamiento se basan en construcciones explícitas de paralelogramos, las pruebas por semejanza requieren la existencia de triángulos semejantes no congruentes, y así sucesivamente S. Brodie. Basándose en esta observación, S. Brodie ha demostrado que el postulado del paralelo es equivalente al teorema de Pitágoras.